Sistem bilangan india

BAB I

PENDAHULUAN

1.1   Latar Belakang

Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan dalam pemerintahan, industri, sains, dll. Sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asal mula penemuan di dalam matematika dan sedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika dimasa silam. Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.

Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Nama India merupakan nama baru yang disebut dalam ejaan orang barat. Aslinya adalah Hind, terambil dari nama sungai Shindu, salah satu sungai di India, dari kata tersebut kemudian menjadi Hindustan. Nama India juga berasal dari kata Sindh, yang diambil dari nama penguasa dahulu di India yaitu anak Nabi Nuh, yang menguasai lebih besar disebanding dengan saudaranya yang lain yaitu Hind dan Bang. Kata sind sama artinya dengan Bharata.

India telah memiliki pengetahuan besar mengenai matematika. Angka nol diciptakan oleh bangsa India kuno. Demikian juga sistem desimal. Matematika Hindu atau matematika India dikenal sebagai Sulwa Sutra,. Atau “tali dari sloka” (cord of verses). Ini berkaitan dengan pembangunan altar tempat pemujaan dan upacara korban. Formula dari Sulwa Sutra sifatnya empirik. Sesungguhnya, dikatakan bahwa Sulwa Sutra mungkin merupakan pengaruh di belakanag perkembangan kemudian dari geometri Yunani. Semua hal yang datang dari matematika India, angka nol adalah yang paling menonjol.

1.2   Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, maka masalah-masalah yang muncul dapat didefinisikan sebagai berikut:

1.      Bagaimana sejarah matematika India?

2.      Apa sistem bilangan India?

3.      Siapa tokoh–tokoh matematika dari India ?

4.      Apa penemuan  yang berhubungan dengan matematika di India?

1.3   Tujuan Penulisan

Sesuai permasalahan diatas, tujuan dari penulisan makalah ini yaitu:

1.      Untuk mengetahui sejarah matematika India.

2.      Untuk mengetahui sistem bilangan yang digunakan oleh India.

3.      Untuk mengetahui tokoh matematika India.

4.      Untuk mengetahui penemuan yang berhubungan dengan matematika di India.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1   Sejarah Matematika India

Matematika India atau juga bisa disebut Matematika Hindu muncul pada abad ke-26 SM dan berakhir pada abad ke-14 M. Matematika India ini berkembang setelah matematika China dan berakhir tepat sebelum munculnya matematika Eropa abad pertengahan. Matematika India dimulai sejak munculnya sebuah peradaban yang terletak di daerah aliran Sungai Indus. Peradaban ini biasa disebut Peradaban Lembah Indus. Kota-kota yang mereka tempati kala itu diatur secara geometris.

Peradaban Lembah Sungai Indus, 2800 SM–1800 SM, merupakan sebuah peradaban kuno yang hidup sepanjang Sungai Indus dan Sungai Ghaggar-Hakra yang sekarang Pakistan dan India barat. Peradaban ini sering juga disebut sebagai Peradaban Harappa Lembah Indus, karena kota penggalian pertamanya disebut Harappa, atau juga Peradaban Indus Sarasvati karena Sungai Sarasvati yang mungkin kering pada akhir 1900 SM. Pemusatan terbesar dari Lembah Indus berada di timur Indus, dekat wilayah yang dulunya merupakan Sungai Sarasvati kuno yang pernah mengalir.

Sekitar abad ke-15 SM bangsa India diusir oleh bangsa Arya yang datang dari Asia Tengah. Selama kira-kira 1000 tahun bangsa Arya menyempurnakan tulisan Hindu dan bahasa Sansekerta. Beberapa penulis agama juga menulis sejarah matematika karena dalam pembangunan altar Budha direntangkan tali yang menunjukkan pengenalan tigaan Pythagoras.

Kemudian lahirlah matematika Vedanta yang berkembang di India sejak Zaman besi. Sekitar abad ke-9 SM, seorang matematikawan bernama Shatapatha Brahmana mulai menemukan pendekatan nilai π, dan kemudian antara abad ke-8 dan ke-5 SM, Sulba Sutras memberikan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan rasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik yaitu dengan menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan, memberikan metode konstruksi lingkaran dan perhitungan luasnya menggunakan susunan persegi, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat serta menggembangkan Tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.

Pada tahun 550 bangsa Hindu menemukan bilangan nol dan penulisan sistem letak untuk bilangan. Angka India atau Argam Hindiyyah dimulai satu tempat kosong untuk angka nol, ini terbukti telah dituliskan posisi itu pada Kitab Injil orang India. Para ahli matematika India telah lama menemukan bilangan nol, tetapi belum ada simbolnya. Kemudian Aryabrata menyebut bilangan nol dengan kata “kha”. Aryabrata telah memasukkan nol dalam sistem perhitungan bukan sekedar tempat kosong. Konsep bilangan nol menggunakan satu tempat kosong di dalam pengaturan bentuk tabel telah dikenal dan digunakan di India dari abad ke-6. Naskah tertua yang diketahui menggunakan nol adalah karya Jain dari India yang berjudul Lokavibhaaga, berangka tahun 458. Penggunaan simbol nol oleh orang India yang pasti adalah di Gwalior Tablet Stone pada tahun 876. Dokumen tersebut tercetak pada lempengan tenbaga dengan simbol “o” kecil tercetak di situ. Ensiklopedi Britanica mengatakan “Literatur Hindu membuktikan bahwa bilangan nol mungkin telah dikenal di depan kelahiran Kristus, tetapi tidak ada catatan yang ditemukan dengan simbol seperti itu di depan abad ke-9”. Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai Sistem Bilangan Desimal.

2.2   Tokoh Matematika India

1.    Pāṇini (kira-kira abad ke-5 SM)

     Pāṇini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta. Notasi yang dia gunakan sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi.

2.    Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM)

     Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM)  di dalam risalahnya prosody menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika meter bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci (yang disebut mātrāmeru).

3.    Surya Siddhanta (kira-kira 400)

     Surya Siddhanta (kira-kira 400)  memperkenalkan fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan balikan sinus, dan meletakkan aturan-aturan yang menentukan gerak sejati benda-benda langit, yang bersesuaian dengan posisi mereka sebenarnya di langit.Daur waktu kosmologi dijelaskan di dalam tulisan itu, yang merupakan salinan dari karya terdahulu, bersesuaian dengan rata-rata tahun siderik 365,2563627 hari, yang hanya 1,4 detik lebih panjang daripada nilai modern sebesar 365,25636305 hari. Karya ini diterjemahkan ke dalam bahasa Arab dan bahasa Latin pada Zaman Pertengahan.

4.      Aryabhata (abad ke-499)

     Aryabhata adalah matematikawan dan astronom India yang lahir pada tahun 475 M dan meninggal pada tahun 550 M. Dia hidup di zaman yang sulit untuk mengembangkan matematika. Bahkan, pada masa itu dia merupakan satu-satunya orang yang menemukan rumus-rumus matematika sebelum lahirnya ahli-ahli matematika pada masa modern kini.

     Pada tahun 499 M, saat usianya baru 23 tahun ia sudah berhasil membuat sebuah karya besar. Karyanya itu adalah sebuah Kitab yang ia beri judul mirip dengan namanya yakni Aryabhatiya. Kitab ini begitu populer karena didalamnya ia memperkenalkan fungsi versinus, menghasilkan tabel trigonometri India pertama tentang sinus, mengembangkan teknik-teknik algoritma aljabar, infinitesimal, dan persamaan diferensial, serta memperoleh solusi seluruh bilangan untuk persamaan linear oleh sebuah metode yang setara dengan metode modern. Tak hanya matematika, di dalam kitab ini ia juga menuliskan perhitungan astronomi yang akurat berdasarkan sistem heliosentrisgravitasi. Saking populernya, kitab ini diterjemahkan kedalam bahasa Arab pada abad ke-8 M, dan kemudian dalam bahasa Latin pada abad ke-13 M.

     Penemuannya yang lain dalam matematika adalah penemuan rumus π (phi). Ia memberikan nilai π yang bersesuaian dengan 62832/20000 = 3,1416. Ia juga membuat rumus untuk menemukan luas segitiga, lingkaran, dll. Dalam rumus lingkaran, ia membuat peraturan yang menyatakan komponen utama pemecahan keliling sebuah lingkaran ada pada diameternya.

5.    Brahma Gupta

     Brahma Gupta adalah matematikawan besar India berikutnya, ia hidup dari tahun 598 sampai 660 M. Karyanya yang terkenal adalah Brahma Siddhanta yang terdiri dari dalil dan peraturan. Pada tahun 628 M Brahma Gupta menulis sebuah buku berjudul Brahma Gupta Siddhanta sebagai perbaikan dari buku sebelumnya. Dalam buku barunya ini ia menulis 2 bab tentang matematika, yaitu bab 12 dan 18 yang didalamnya terdapat teorema-teorema yang sudah diakui sebagai teorema yang benar. Namun ada pendapat beberapa ahli yang mengatakan bahwa teorema Brahma Gupta tidak benar. Disamping itu terdapat pula teorema-teorema Brahma Gupta yang eksak yaitu dengan memanfaatkan rumus-rumus Archimedes Heron untuk menentukan jari-jari lingkaran luar suatu segitiga. Salah satu contohnya adalah saat Brahma Gupta membuat rumus     yang ekivalen dengan rumus trigonometri yang kita pakai sekarang yakni:

2R= a/sin A= b/sin B =c/sinC

     Yang merupakan formulasi kembali dari hasil karya ptolami barangkali hasil yang paling menarik dari Brahma Gupta adalah menggeneraisasikan dari rumus beron untuk menentukan luas segi empat yakni :

K=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

6.    Mādhava

     Mādhava dari Sangamagrama (lahir dengan nama Irinjaatappilly Madhava Namboodiri) (c. 1350 – c. 1425) adalah matematikawan dan astronom India dari kota Irinjalakkuda (dekat Cochin, Kerala, India). Ia merupakan pendiri sekolah astronomi dan matematika Kerala. Mādhava dianggap sebagai salah satu matematikawan-astronom terbesar pada abad pertengahan, dan telah menyumbangkan kontribusi dalam deret takhingga, kalkulus, trigonometri, geometri dan aljabar.

     Karya Madhava diduga dikirim ke Eropa melalui misionaris-misionaris Yesuit dan pedagang yang aktif disekitar pelabuhan Kochi, sehingga memberikan pengaruh terhadap perkembangan kalkulus di Eropa.

Karya Madhava yang memberikan suatu urutan untuk π diterjemahkan kedalam bahasa matematika modern,dibaca

Πr =4r –(4r)/3+(4r)/s

     Pada abad ke-14, Madhava dari Sangamagrama menemukan rumus Leibniz untuk pi, dan, menggunakan 21 suku, untuk menghitung nilai π sebagai berikut    3,14159265359

2.3   Sistem Bilangan India

1.        Angka Brahmi

Kebanyakan sistem angka kedudukan yang menggunakan 10 sebagai asas yang digunakan di seluruh dunia adalah berasal dari India. Sistem angka India lazimnya dikenali di Barat sebagai sistem angka Hindu-Arab atau angka Arab, karena ia diperkenalkan di Eropa melalui orang Arab.

Digit 1 hingga 9 dalam sistem angka Hindu-Arab berevolusi dari angka Brahmi.

Angka Brahmi ditemukan pada prasasti di gua dan kuil di daerah dekat Poona, Bombay dan Uttar Pradesh, prasasti yang berbeda, berbeda pula bentuk simbolnya. Angka Brahmi sudah digunakan lebih lama sampai abad 4M.

2.        Angka Gupta

Periode Gupta adalah selama dinasti Gupta memerintah sampai ke Magadha di Timur laut India pada awal abad 4M sampai akhir abad 6M. Angka Gupta dibangun dari angka Brahmi dan tersebar luas oleh kerajaan Gupta

Angka Gupta lalu berkembang menjadi angka Nagari kadang-kadang juga disebut angka Devahagari.

3.      Angka Nagari

Angka Nagari sering disebut-sebut oleh Al-Biruni sebangai “kebanyakan bilangan” karena banyak dikirim ke dalam dunia Arab. Angka Nagari sering disebut angka Devanagari. Angka India menyebar kenagian dunia antara abad 7 sampai abad 16 M dan sudah menyebar di Eropa di akhir abad 5 M.

Angka  Devanagari	Hindu-Arab	Perkataan Sanskrit untuk  angka ordinal
०	0	śūnya (शून्य)
१	1	éka (एक)
२	2	dvi (द्वि)
३	3	trí (त्रि)
४	4	chatúr (चतुर्)
५	5	pañch (पञ्च)
६	6	ṣáṣ (षष्)
७	7	saptá (सप्त)
८	8	aṣṭá (अष्ट)

2.4   Penemuan Yang Berhubungan Dengan Matematika India

1.      The Sulba Sutra

          Catatan tertua matematikawan India yang berisi lampiran teks-teks agama yang memberikan aturan sederhana untuk membangun altar berbagai bentuk, seperti kotak, persegi panjang, dan lain-lain. lampiran ini juga memberi metode untuk membuat lingkaran dengan memberikan persegi yang luasnya sama. Serta berisi penjelasan verbal awal mengenai teorema Pythagoras.

2.         The Siddhanta Surya

Catatan yang memperkenalkan fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan sinus invers, dan meletakkan aturan untuk menentukan gerakan yang sebenarnya posisi benda-benda langit.

3.      Naskah Bakhshali

Naskah Bakhshali merupakan naskah awal yang ditemukan ratusan tahun yang lalu.

Gupta menulis :

Naskah Bakhshali adalah naskah yang diberikan pada pekerjaan matematika yang ditulis pada pelapah pohon ditemukan pada musim panas tahun 1881 di dekat kampong Bakhshali Yusufzai Peshawar (sekarang Pakistan). Kampong tersebut berada di Mardhan Tsanil 50 mil dari kota Peshawar.

Naskah Bakhsahali sebuah buku petunjuk tentang aturan-aturan dan contoh ilustrasi dan pemecahannya. Terutama tentang Aritmatika dan Aljabar serta beberapa Geometri dan pengukuran. Naskah tersebut memberikan banyak pernyataan aturan kemudian diikuti contoh dan tanda matematika serta pembuktiannya. Hanya sebagian besar disimpan, maka kita tidak dapat memastikan ukuran atau keseimbangan antara topik yang berbeda. Sebagian besar naskah telah rusak dan hanya sekitar 70 daun pelepah pohon yang tersisa yang masih bertahan hingga naskah ini ditemukan. Naskah tersebut diperkirakan disusun sekitar 400M.

4.      Nilai π

Pemahaman π oleh Aryabhata

Aryabhata bekerja pada pendekatan untuk π dan memungkinkan telah sampai pada kesimpulan bahwa π adalah tidak rasional. Pada bagian kedua dari Aryabhata (ganitapada 10), ia menulis dalam bahasa sansekerta, yang artinya :

“tambahkan 4 dan 100, kalikan dengan 8, dan kemudian menambahkan 62.000. dengan aturan ini keliling lingkaran dengan diameter 20.000 dapat ditemui menjadi

∏ = = 3.1416

5.      Geometri

Basis dan inspirasi dari keseluruhan matematika India adalah geometri. Bekas-bekas peninggalan awal pengetahuan geometri dari peradaban Lembah Indus dapat ditemukan pada penggalian kota Harappa dan Mohenjo-daro, dimana terdapat bukti berupa alat penggambar lingkaran yang berasal dari 2500 SM. Ilmu geometri yang berasal dari India dapat diketahui melalui sebuah catatan konstruksi geometri para pendeta Weda yang disebut Sulbasutra. Sulbasutra adalah panduan untuk pembangunan altar-altar tersebut untuk pemujaan dan menjelaskan sejarah geometri bangsa India. Altar-altar ini memiliki bentuk berbeda-beda tetapi berdiri di wilayah yang sama. Sulbasutra berisi penjelasan verbal awal mengenai teorema Pythagoras meskipun juga telah diketahui oleh bangsa Babilonia. Dalil-dalil Sutrasulba berhubungan dengan pembagian gambar-gambar seperti garis lurus, persegi panjang, lingkaran dan segitiga. Geometri Hindu terutama untuk keperluan praktek. Geometri yang pertama mengenai pendirian altar agama Hindu. Pendirian altar itu terkait dengan teorema Pythagoras.

6.      Trigonometri

Penelitian trigonometri oleh Aryabhata

Dalam kitab Ganitapada 6, Aryabhata mengemukakan luas segitiga, yang artinya :

“untuk segitiga, hasil yang tegak lurus dengan sisi setengah merupakan daerah.

7.      Aljabar

Penelitian Aljabar oleh Aryabhata

Didalam kitab Aryabhata, Aryabhata memberikan hasil elegan untuk penjumlahan dari serangkaian bilangan kuadrat dan bilangan pangka 3 :

1²+2²+...+n² =

Dan

1³+2³+...+n³=(1+2+...+n)²

Jika x, y, dan r merupakan sisi segitiga dan memenuhi persamaan x²+y²=r² maka segitiga tersebut pastilah siku-siku, dan dikatakan x, y, dan r adalah tripel pythagoras.

Untuk mencari tripel pythagoras kita bisa menggunakan rumus-rumus berikut :

x=a²-b²

y=2ab

r=x²+y²

dengan ketentuan a>b

BAB III

PENUTUP

3.1   Kesimpulan

            Matematika Hindu atau matematika India dikenal sebagai Sulwa Sutra,. Atau “tali dari sloka” (cord of verses). Semua hal yang datang dari matematika India, angka nol adalah yang paling menonjol.

            Pada tahun 550 bangsa Hindu menemukan bilangan nol dan penulisan sistem letak untuk bilangan. Angka India atau Argam Hindiyyah dimulai satu tempat kosong untuk angka nol, ini terbukti telah dituliskan posisi itu pada Kitab Injil orang India. Para ahli matematika India telah lama menemukan bilangan nol, tetapi belum ada simbolnya. Kemudian Arybrata menyebut bilangan nol dengan kata “kha”. Penggunaan simbol nol oleh orang India yang pasti adalah di Gwalior Tablet Stone pada tahun 876. Dokumen tersebut tercetak pada lempengan tenbaga dengan simbol “o” kecil tercetak di situ. Ensiklopedi Britanica.

            Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh.

            Matematika Vedanta dimulakan di India sejak Zaman Besi. Shatapatha Brahmana (kira-kira abad ke-9 SM), menghampiri nilai π, dan Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) yang merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik, menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan, memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, dll.

            Angka Brahmi ditemukan di gua dan kuil di daerah dekat Poona, Bombay dan Uttar Pradesh. Data waktunya menunjukkan bahwa sudah dipakai lebih lama sampai abad 4M.

            Periode Gupta adalah selama dinasti Gupta memerintah sampai ke Magadha di Timur laut India pada awal abad 4M sampai akhir abad 6M. Angka Gupta dibangun dari angka Brahmi dan tersebar luas oleh kerajaan Gupta. Angka Gupta kemudian berkembang menjadi angka Nagari atau angka Devahagari. Bentuk ini berkembang dimulai sekitar abad 7M dan berlanjut berkembang dari abad 11M.

            Penemuan yang berhubungan dengan matematika yaitu catatan The Sulba Sutras, catatan The Siddhanta Surya, Naskah Basali, penemuan pendekatan nilai phi, geometri, trigonometri dan aljabar.