Makalah LEONHARD EULER

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan suatu ilmu tentang bilangan (aritmatika/ilmu hitung) dan ilmu ruang (geometri). Sudah sejak zaman yunani kuno, matematika berhubungan erat dengan filsafat. Setelah konsep-konsep tentang hal yang tak terbatas (to apeiron) dan hal yang berlangsung terus (synneches) tampil dalam matematika yunani,konsep-konsep itu menumbuhkan suatu refleksi filosofis yang sangat mendalam (misalnya antinomi-antinomi dari zeno). Kaum pythagorean mempertahankan pendapat bahwa bilangan pada zaman yunani kuno matematika berhubungan erat dengan filsafat. Kaum pythagorean mempertahankan pendapat bahwa bilangan merupakan prinsip benda. Dan mereka berhasil menemukan kuantitas-kuantitas yang tak dapat diukur, yaitu kuantitas-kuantitas modern, terlihat dari pikiran yang telah diserap oleh ucapan (G. Ipsen) atau munculdari ucapan (Stenzel). Analisis konseptual bahasa dalam semua dimensinya dapat dilihat dari masalah semantik.

Leonhard Euler bisa dibilang merupakan matematikawan yang paling berjasa di abad ke 18. Penemuan-penemuan luar biasa banyak ditemukan Euler, dan sebagian besar masih bertahan sampai sekarang. kontribusi terkenal Euler adalah studi tentang teori graph denganTujuh Jembatan Königsbergnya. Temuan Euler juga berdampak besar pada sistem notasi yang dipakai dalam Matematika. Dialah yang menciptakan banyak lambang Matematika yang dipakai sampai sekarang. Misalnya: (pi) untuk rasio keliling lingkaran terhadap garis tengahnya; e (dikenal sebagai angka Euler) untuk dasar logaritma natural; i untuk akar -1 (angka khayal); Sigma untuk jumlah dari sejumlah suku; f(x) untuk fungsi variabel x; dan pemakaian a, b, dan c untuk sisi segitiga dan A, B, dan C untuk sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi itu.

1.2   Rumusan Masalah

1.      Siapakah Leonhard Euler itu ?

2.      Apa karya-karya Leonhard Leuler itu ?

3.      Bagaimana hasil penelitiannya terhadap penemuan berbagai notasi bilangan ?

4.      Apa saja pengabdian Euler terhadap dunia matematika?

1.3 Tujuan

Adapun tujuan dari pembahasan ini diantaranya yaitu untuk memahami tokoh sejarah matematika yang terkenal dengan penemuan-penemuannya yang sangat berpengaruh dalam dunia matematika modern pada saat ini.

  

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 SEJARAH HIDUP LEONHARD EULER

                                                                       

Euler lahir di Basel, Swiss pada tanggal 15 April 1707. Ayahnya adalah Paul Euler, seorang pendetaCalvinisme dari gereja Reformasi. Ibunya adalah Marguerite Brucker, anak dari seorang pendeta. Dia memiliki dua adik perempuan Anna Maria dan Maria Magdalena. Segera setelah kelahiran Leonhard, keluarga Euler pindah dari Basel menuju Riehen, di mana Euler menghabiskan sebagian besar masa kecilnya. Paul Euler merupakan teman dari salah seorang anggota keluarga Bernoulli yaitu Johann Bernoulli, yang dianggap sebagai matematikawan Eropa terkemuka, yang nantinya menjadi pengaruh penting terhadap Leonhard muda.

Pendidikan awal resmi Euler dimulai di Basel, di mana ia dikirim untuk tinggal bersama nenek dari pihak ibu. Pada usia tiga belas ia terdaftar di Universitas Basel , dan tahun 1723, menerima gelar Master of Philosophy dengan disertasi yang membandingkan filsafat Descartes dan Newton.

Pendidikan formal Euler berawal di Basel. Di sana dia tinggal bersama nenek dari pihak ibunya. Di usianya yang ketigabelas, dia mendaftar di Universitas Basel, dan pada tahun 1723, dia menerima gelar ‘’Master of Philosophy’’ dengan disertasi yang membandingkan filsafat dari Descartes dan Newton. Setelah kelulusannya, dia mengambil les Sabtu sore dari Johann Bernoulli, yang dengan cepat menemukan bakat luar biasa dari murid barunya itu dalam matematika. Dari sini, Euler mempelajari teologi, bahasa Yunani, dan bahasa Ibrani karena desakan ayahnya, agar ia menjadi seorang pastor, tapi Bernoulli meyakinkan Paul Euler bahwa Leonhard telah ditakdirkan untuk menjadi seorang matematikawan hebat. Pada tahun 1726, Euler merampungkan disertasi tentang perambatan suara dengan gelar De Sono. Kemudian, dia berusaha mendapatkan posisi di Universitas Basel (yang akhirnya gagal).

Pada tahun 1727, dia mengikuti kompetisi Paris Academy Prize Problem (kompetisi memecahkan masalah), yang pada saat itu tantangannya adalah menemukan cara terbaik untuk menempatkan tiang kapal pada sebuah perahu. Dia mendapat juara kedua, kalah dari Pierre Bouguer—yang sekarang dikenal sebagai "bapak arsitekur angkatan laut." Euler kemudian memenangkan kompetisi tahunan yang didambakan ini dua belas kali sepanjang karirnya.

A.    Perjalanan hidup Euler ke St Petersburg

Sebelumnya, kedua anak Johan Bernoulli, Daniel dan Nicolas, tengah bekerja di Akademi Ilmu Pengetahuan Imperial Rusia di St Petersburg. Kemudian pada 10 Juli 1726, Nicolas meninggal akibat apendisitis yang telah menjangkitinya selama satu tahun di Rusia, dan saat Daniel harus mengisi posisi saudaranya di divisi matematika/fisika, dia menyarankan bahwa salah satu bagian di bidang fisiologi yang kosong ditempati oleh temannya, Euler. Pada November 1726, Euler menerima tawaran itu dengan senang hati, tetapi dia menunda kepergiannya menuju St Petersburg karena dia telah mengajukan lamaran untuk menjadi dosen fisika di Universitas Basel, yang sayangnya dia tidak beruntung.

 Euler tiba di ibukota Rusia pada 17 Mei 1727. Dia naik jabatan dari posisi junior di departemen kesehatan ke salah satu posisi di departemen matematika di akademi tersebut. Dia ajukan oleh Daniel Bernoulli, orang yang selalu bekerja bersamanya dalam kolaborasi yang akrab. Euler menguasai bahasa Rusia dan hidup menetap di St Petersburg. Dia juga mengambil kerja sampingan sebagai tenaga medis di Angkatan Laut Rusia.

Akademi di St. Petersburg itu, yang didirikan oleh Peter Yang Agung, memiliki visi memajukan pendidikan di Rusia dan menghilangkan kesenjangan ilmiah dengan dunia barat. Hasilnya, akademi tersebut secara khusus menjadi perhatian para sarjana asing seperti Euler. Akademi tersebut memiliki sumber daya keuangan yang mencukupi dan sebuah perpustakaan yang lengkap yang meniru perpustakan pribadi Peter dan juga seperti perpustakaan peribadi milik kaum bangsawan lain. Hanya beberapa murid yang mendaftar di akademi tersebut untuk menjadi pengajar di fakultas yang ada, dan akademi tersebut menekankan terhadap pengadaan riset dan memberikan waktu dan kebebasan kepada fakultas-fakultasnya untuk mengikuti berbagai pertanyaan ilmiah.

B.     Perjalanan Euler ke Berlin

Prihatin dengan gejolak terus di Rusia, Euler meninggalkan St Petersburg pada 19 Juni 1741 untuk mengambil posting di Berlin Academy , yang telah ditawarkan oleh Frederick Agung dari Prusia . Dia tinggal selama dua puluh lima tahun di Berlin , di mana ia menulis lebih dari 380 artikel. Di Berlin, ia menerbitkan dua karya yang paling terkenal yaitu: Introductio di analysin infinitorum, teks pada fungsi diterbitkan pada 1748, dan Institutiones kalkuli differentialis, diferensial kalkulus diterbitkan pada tahun 1755. Pada 1755, ia terpilih sebagai anggota asing dari Royal Swedish Academy of Sciences .

Selain itu, Euler diminta untuk tutor Putri Anhalt-Dessau, keponakan Frederick. Euler menulis lebih dari 200 surat padanya sekitar tahun 1760 awal, yang kemudian dikompilasi ke dalam volume terlaris berjudul Surat dari Euler pada Subjek yang berbeda di Alam Filsafat Ditujukan kepada seorang Putri Jerman. Karya ini berisi eksposisi Euler tentang berbagai subjek yang berkaitan dengan fisika dan matematika, serta menawarkan wawasan berharga kepribadian Euler dan keyakinan agama. Buku ini menjadi lebih banyak pembaca daripada karya matematika, dan diterbitkan di seluruh Eropa dan di Amerika Serikat.

Meskipun kontribusi besar Euler untuk prestise Academy, ia akhirnya dipaksa untuk meninggalkan Berlin. Euler, seorang yang religius yang sederhana dan pekerja keras, sangat konvensional dalam keyakinannya dan selera.

C.     Iman Membantu Mengatasi Tragedi

Tahun 1766 Euler kembali ke St. Petersburg, tapi kehidupannya selanjutnya penuh dengan tragedi. Tahun 1735 mata kanannya buta. Tahun 1767 dia menyadari bahwa mata kirinya juga hampir buta. Operasi katarak pada mata kirinya berhasil, tapi kemudian terkena infeksi, sehingga ia sangat menderita kesakitan dan secara perlahan-lahan menjadi buta. "Euler sendiri menerima kebutaannya dengan tegar. Tidak diragukan lagi bahwa imannya yang teguh membantunya menghadapi malapetaka itu."

Euler tidak membiarkan tragedi besar itu mengalahkan dirinya. Dia tetap berusaha dan mampu membuat banyak kalkulasi rumit dalam benaknya, tidak di atas kertas; dia menuliskan rumusnya dengan kapur di atas batu tulis besar, dan mendiktekan penjelasannya kepada salah seorang putranya. Dengan teknik demikian, hasil kerjanya makin bertambah. (Kalkulasi yang dia lakukan dalam benak pada masa kebutaannya antara lain kalkulasi tentang matahari/bulan/bumi versi kedua yang lebih baik. Dalam benaknya dia mampu memecahkan masalah rumit yang membingungkan teman-temannya dan pakar-pakar besar pendahulunya, seperti Newton.)

Euler kehilangan rumah dan semua harta bendanya ketika terjadi kebakaran tahun 1771. Dia luput dari malapetaka itu karena diselamatkan oleh pelayannya. Untunglah, sebagian besar tulisannya bisa diselamatkan. Dia menderita kehilangan yang jauh lebih besar tahun 1776, tatkala istri yang sangat dicintainya meninggal dunia.

D.    Euler kembali ke Rusia

Situasi di Rusia telah meningkat pesat sejak aksesi ke tahta Catherine yang Agung , dan pada 1766 Euler menerima undangan untuk kembali ke St Petersburg Academy dan menghabiskan sisa hidupnya di Rusia. Tinggal kedua kalinya di negara itu dirusak oleh tragedi. Sebuah kebakaran di St Petersburg pada tahun 1771 di rumahnya, dan hampir merengut hidupnya. Pada 1773, ia kehilangan istrinya Katharina setelah 40 tahun menikah. Tiga tahun setelah istrinya meninggal Euler menikah dengan saudara tirinya, Salome Abigail Gsell (1723-1794).

Di St Petersburg pada tanggal 18 September 1783, setelah makan siang bersama keluarganya, selama percakapan dengan sesama akademisi Anders Johan Lexell tentang baru ditemukan Uranus dan perusahaan orbit , Euler mengalami pendarahan otak dan meninggal beberapa jam kemudian. Sebuah obituari singkat untuk Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia ditulis oleh Jacob von Shtelin dan pidato yang lebih rinci  ditulis dan disampaikan pada pertemuan peringatan oleh matematikawan Rusia

Ia dimakamkan di sebelah Katharina di Smolensk Lutheran Cemetery di Pulau Vasilievsky . Pada 1785, Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia menempatkan patung marmer dari Leonhard Euler pada alas di sebelah kursi Direktur dan pada tahun 1837, ditempatkan sebuah nisan di kuburan Euler. Untuk memperingati ulang tahun ke-250 kelahiran Euler, nisan tersebut dipindahkan pada tahun 1956, bersama dengan jenazahnya, ke pekuburan abad ke-18 di Biara Alexander Nevsky .

2.2   KONTRIBUSI  EULER  UNTUK MATEMATIKA

A.   Notasi Matematika

Euler terkenal dan populer melalui konvensi penulisan beberapa buku teks-nya yang banyak dan beredar luas. Temuan Euler juga berdampak besar pada sistem notasi yang dipakai dalam Matematika. Dialah yang menciptakan banyak lambang Matematika yang dipakai sampai sekarang.  Terutama, dia memperkenalkan konsep fungsi yang pertama kali untuk menulis f (x) untuk menunjukkan fungsi f diterapkan pada argumen x. Dia juga memperkenalkan notasi modern untuk fungsi trigonometri , huruf e untuk dasar logaritma natural (sekarang juga dikenal sebagai nomor Euler ), huruf Yunani Σ (sigma) untuk penjumlahan dan huruf i untuk menunjukkan satuan imajiner . Para penggunaan huruf Yunani π untuk menunjukkan rasio lingkar lingkaran untuk diameternya juga dipopulerkan oleh Euler, dan pemakaian a, b, dan c untuk sisi segitiga dan A, B, dan C untuk sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi itu.

B.   Totient Function

Leonhard Euler memperkenalkan fungsi pada tahun 1763. Namun, pada waktu itu ia tidak  memilih simbol tertentu untuk menunjukkan itu. Dalam sebuah publikasi pada tahun 1784, Euler belajar fungsi lanjut, memilih huruf Yunani π untuk menunjukkan itu, ia menulis πD untuk "banyaknya angka kurang dari D, dan yang tidak memiliki pembagi umum dengan itu". Notasi standar  φ (A) berasal dari Gauss '1801 risalah Disquisitiones Arithmeticae . Namun, Gauss tidak menggunakan tanda kurung di sekitar argumen dan menulis φ A. Jadi, biasanya disebut Euler fungsi phi atau hanya fungsi phi.

Pada tahun 1879 JJ Sylvester menciptakan totient istilah untuk fungsi ini, sehingga juga disebut sebagai fungsi totient, atau  totient Euler, atau Euler totient. Totient Jordan adalah generalisasi dari Euler.

Fungsi totient Euler  diterapkan pada bilangan bulat positif  didefinisikan sebagai jumlah bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan  yang relatif prima untuk .

 dibaca "phi dari n."

Rumus

Untuk menurunkan formula, mari kita mendefinisikan faktorisasi prima dari  sebagai dimana  adalah berbeda bilangan prima . Sekarang, kita dapat menggunakan PIE argumen untuk menghitung jumlah angka kurang dari atau sama dengan yang relatif prima untuk itu.

Pertama, mari kita menghitung komplemen dari apa yang kita inginkan (yaitu semua angka kurang dari  yang berbagi faktor umum dengan itu). Ada  nomor kurang dari  yang dibagi oleh . Jika kita melakukan hal yang sama untuk setiap  dan menambahkan ini, kita mendapatkan

Tapi kami jelas overcounting. Kami kemudian kurangi keluar yang habis dibagi dua . Ada  nomor tersebut. Kami terus dengan argumen PIE ini untuk mengetahui bahwa jumlah elemen dalam komplemen dari apa yang kita inginkan adalah

Jumlah ini merupakan jumlah angka kurang dari berbagi faktor umum dengan , Sehingga

Mengingat umum faktorisasi prima dari , Seseorang dapat menghitung menggunakan rumus

Catatan

Kadang-kadang, bukannya . digunakan. Ini variasi huruf Yunani phi adalah umum dalam buku teks, dan penggunaan standar.

C.   Teorema Fermat-Euler

Dalam teori bilangan , teorema Euler (juga dikenal sebagai teorema Fermat-Euler ).

Pada tahun 1736, Euler menerbitkan bukti tentang Teorema kecil Fermat ,  yang Fermat telah sajikan tanpa bukti. Selanjutnya, Euler menyajikan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak dengan "Euler Teorema" dalam makalahnya dari tahun 1763, di mana ia berusaha untuk menemukan eksponen terkecil dari Teorema kecil Fermat adalah selalu benar.

Kebalikan dari Euler teorema juga benar: jika kesesuaian atas adalah benar, maka n dan harus prima.

Teorema Euler adalah generalisasi dari Teorema kecil Fermat , dan selanjutnya generalisasi oleh teorema Carmichael.

Teorema dapat digunakan untuk dengan mudah mengurangi kekuatan besar Modulo n. Sebagai contoh, perhatikan menemukan yang menempatkan angka desimal dari 7 ^222,yaitu 7 ²²² (mod 10). Perhatikan bahwa 7 dan 10 adalah coprime, dan φ (10) = 4. Jadi Euler Teorema hasil 7 ⁴ ≡ 1 (mod 10), dan kami mendapatkan 7 ²²²≡ 7 ^{4 × 55 + 2} ≡ (7 ^{4) 55} × 7 ² ≡ 1 ⁵⁵ × 7 ² ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).

Secara umum, ketika mengurangi kekuatan dari modulo n (dimana n dan yang coprime), salah satu kebutuhan untuk bekerja Modulo φ (n) dalam eksponen dari:

jika x ≡ y (φ mod (n)), maka ^x ≡ ^y (mod n).

Teorema Euler juga membentuk dasar dari sistem enkripsi RSA , di mana hasil bersih dari pertama mengenkripsi sebuah plaintext pesan, kemudian mendekripsi itu, sebesar exponentiating sejumlah masukan yang besar oleh k φ (n) + 1, untuk beberapa bilangan bulat positif k. Euler Teorema kemudian menjamin bahwa jumlah output yang didekripsi adalah sama dengan jumlah input asli, memberikan kembali plaintext.

D.   The Seven Bridges of Konigsberg

Pada tahun 1736, Euler memecahkan masalah yang dikenal sebagai Tujuh Jembatan Königsberg. Kota Königsberg , Prusia didirikan pada Pregel Sungai, dan termasuk dua pulau besar yang dihubungkan satu sama lain dengan daratan oleh tujuh jembatan. Masalahnya adalah untuk memutuskan apakah mungkin untuk mengikuti jalan yang melintasi setiap jembatan tepat satu kali dan kembali ke titik awal. Hal ini tidak mungkin: tidak ada sirkuit Euler . Solusi ini dianggap sebagai teorema pertama dari teori graph , khususnya dari planar graph teori.

Euler juga menemukan rumus V - E + F = 2 terkait jumlah simpul, tepi, dan wajah dari cembung polyhedron dan karenanya dari grafik planar . Konstanta dalam formula ini sekarang dikenal sebagai karakteristik Euler untuk grafik (atau objek matematika lainnya), dan terkait dengan genus objek. Penelitian dan generalisasi dari rumus ini, secara khusus oleh Cauchy dan L'Huillier , berada di asal topologi .

E.   Bilangan Euler

Salah satu contoh bilangan irrasional adalah euler (e). Menurut Wikipedia, Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekivalen; sebagain ada dibawah.

Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah:

e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352

Nah darimana bisa nemu e ≈ 2,718... ??

Begini, Nilai euler didapat dari pendekatan limit bilangan menuju 1 dari kanan dengan pangkat menuju tak hingga, seperti ini:

 

Masih ingat rumus binomial newton kan?

karena bilangan euler diatas memakai pendekatan limit maka bilangan e dapat dijabarkan menjadi bilangan binomial seperti ini:

karena h mendekati tak hingga, maka :

Sehingga didapat nilai e yaitu 2,7182.

F.   Metode Euler-Maclaurin

Dalam matematika , rumus Euler-Maclaurin menyediakan koneksi yang kuat antara integral (kalkulus ) dan jumlah. Hal ini dapat digunakan untuk integral perkiraan oleh jumlah yang terbatas, atau sebaliknya untuk mengevaluasi jumlah terbatas dan seri terbatas menggunakan integral dan mesin kalkulus. Sebagai contoh, banyak ekspansi asymptotic berasal dari rumus, dan rumus Faulhaber dunia untuk jumlah kekuasaan merupakan konsekuensi langsung.

Rumus ini ditemukan secara independen oleh Leonhard Euler dan Colin Maclaurin sekitar 1735 (dan kemudian digeneralisasi sebagai rumus Darboux ini ). Euler membutuhkannya untuk menghitung perlahan konvergen seri terbatas sementara Maclaurin digunakan untuk menghitung integral.

Rumus

Jika m dan n adalah bilangan dan  f (x) adalah fungsi analitik dari eksponensial jenis <2π didefinisikan untuk semua nyata nomor x dalam interval , Maka terpisahkan

dapat didekati dengan jumlah (atau sebaliknya)

(Lihat aturan trapesium ). Rumus Euler-Maclaurin memberikan ekspresi untuk perbedaan antara jumlah dan integral dalam hal lebih tinggi derivatif ƒ ^(k) pada titik akhir interval m dan n. Secara eksplisit, untuk nomor alami setiap p, kita memiliki

di mana B ₁ = -1/2, B ₂ = 1/6, B ₃ = 0, B = ₄ -1 / 30, B = ₅ 0, B = ₆ 1/42, B ₇ = 0, B = ₈ - 1/30, ... adalah nomor Bernoulli , dan R adalah istilah error yang biasanya kecil untuk nilai yang sesuai dari p dan tergantung pada n, m, p dan f.

Rumus ini sering ditulis dengan subscript yang hanya mengambil bahkan nilai-nilai, karena angka Bernoulli aneh karena setiap bilangan B ganjil adalah nol kecuali B _1, dalam hal ini maka:

 

G.Gambar Tujuh Jembatan Koningsberg (Teori Graph)

 

Masalahnya adalah : Untuk memutuskan apakah mungkin untuk mengikuti jalan yang melintasi setiap jembatan tepat satu kali dan kembali ke titik awal. Hal ini tidak mungkin, tidak ada sirkuit Euler. Solusi ini dianggap sebagai teorema pertama dari teori graph, khususnya dari planar graph teori.  

H.    Mengapa Bilangan Euler = 2.718281....

 

BAB III

PENUTUP

3.1  Kesimpulan

1.1  Orang jenius ini dilahirkan dengan nama Leonhard Euler. Ia lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Dia diterima masuk Universitas Basel tahun 1720 ketika umurnya baru 13 tahun.

2.1  Mula-mula Euler belajar teologi  (ilmu yang mempelajari segala sesuatu yang berkaitan dengan keyakinan beragama), tetapi tak lama ia segera pindah ke mata pelajaran matematika.

3.1  Dia peroleh gelar sarjana dari Universitas Basel umur 17 tahun! Dan saat usianya 21 tahun, Euler sudah menerima undangan Catherine I  dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg.

4.1  Di umur 23 tahun, dia menjadi guru besar fisika dan matematika , dan saat usia 26 tahun Euler ditunjuk untuk menggantikan posisi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang matematikus masyhur Daniel Bernoulli. Hebatttt kaan...!!

3.2  Saran

ü  Dalam penulisan makalah ini penulis merasakan banyak sekali terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran pembaca demi kesempurnaan makalah ini pada waktu yang akan datang.

ü  Adapun saran kami bagi pembaca makalah ini, kiranya setelah makalah ini selesai maka kami berharap akan ada diskusi selanjutnya terkait masalah-masalah yang belum jelas, sehingga dengan demikian proses pembuatan makalah selanjutnay bisa disempurnakan dan lebih baik lagi.

I.       Fungsi Totient φ ( n ) di Teori Nomor

ü  The fungsi totient Euler , atau phi ( φ ) fungsi sejumlah fungsi teori sangat penting memiliki hubungan yang mendalam untuk bilangan prima dan urutan disebut bilangan bulat . The totient φ ( n ) dari bilangan bulat positif n lebih besar dari 1 didefinisikan sebagai jumlah bilangan bulat positif kurang dari n yang coprime untuk n . φ ( 1 ) didefinisikan sebagai 1. 

Tabel berikut menunjukkan nilai fungsi untuk beberapa bilangan pertama :

n	φ(n)	numbers coprime to n
1	1	1
2	1	1
3	2	1, 2
4	2	1,3
5	4	1,2,3,4
6	2	1,5
7	6	1,2,3,4,5,6
8	4	1,3,5,7
9	6	1,2,4,5,7,8
10	4	1,3,7,9
11	10	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
12	4	1,5,7,11
13	12	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
14	6	1,3,5,9,11,13
15	8	1,2,4,7,8,11,13,14

RUMUS UMUM FUNGSI TOTIENT φ ( n )

ü  Jika n bilangan prima, maka : φ(n) = n – 1

ü  Jika n bilangan komposit, maka : n = a × b sehingga φ(n) = φ(a) × φ(b)

Contoh : φ(15) = φ(3) × φ(5) = 2 × 4 = 8

Tidak berlaku untuk 4, 8, dan 9 (Contoh : φ(9) = 6 + φ(3) × φ(3))

ü  Jika faktorisasi n diberikan oleh n = p₁e₁............p_ne_n , maka :

Contoh : φ(14) = 4 × (1 - ½) = 2

J.      Teorema Fermat Euler di Teori Nomor

a ^φ(n) = 1 (mod n) Contoh : φ (10) 7⁴ = 1 (mod 10) = (7, 10) = 1

ü  Teorema kecil fermat : a^p = a (mod p) , a^p-1 = 1 (mod p) yang mana a = bilangan bulat , p = bilangan prima , dan a^p-1 selalu bisa dibagi p.

BAB III

PENUTUP

3.1Kesimpulan

ü  Orang jenius ini dilahirkan dengan nama Leonhard Euler. Ia lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Dia diterima masuk Universitas Basel tahun 1720 ketika umurnya baru 13 tahun.

ü  Mula-mula Euler belajar teologi  (ilmu yang mempelajari segala sesuatu yang berkaitan dengan keyakinan beragama), tetapi tak lama ia segera pindah ke mata pelajaran matematika.

ü  Dia peroleh gelar sarjana dari Universitas Basel umur 17 tahun! Dan saat usianya 21 tahun, Euler sudah menerima undangan Catherine I  dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg.

ü  Di umur 23 tahun, dia menjadi guru besar fisika dan matematika , dan saat usia 26 tahun Euler ditunjuk untuk menggantikan posisi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang matematikus masyhur Daniel Bernoulli. Hebatttt kaan...!!

3.2 Saran

ü  Dalam penulisan makalah ini penulis merasakan banyak sekali terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran pembaca demi kesempurnaan makalah ini pada waktu yang akan datang.

ü  Adapun saran kami bagi pembaca makalah ini, kiranya setelah makalah ini selesai maka kami berharap akan ada diskusi selanjutnya terkait masalah-masalah yang belum jelas, sehingga dengan demikian proses pembuatan makalah selanjutnay bisa disempurnakan dan lebih baik lagi.