makalah Srinivasa Aiyangar Ramanujan

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG.

Banyak diantara kita hanya menggunakan dan kagum terhadap rumus-rumus matematika yang telah kita pelajari tanpa mengetahui siapa-siapa saja yang menemukan rumus-rumus tersebut. Di dalam pelajaran “Sejarah Matematika” kita mempelajari siapa-siapa saja yang berperan dalam perkembangan matematika itu. Sejarah matematika menjadi dasar untuk pembelajaran matematika lebih lanjut sehingga penting untung menguasai materi sejarah serta tokoh-tokoh sejarah yang berkaitan dengan ilmu matematika. Berdasarkan hal itulah penulis berkeinginan untuk menambah wawasan serta pengetahuan mengenai tokoh sejarah matematika, hasil penemuannya, serta materi yang dikembangkannya. Penulis mengambil judul tentang tokoh matematika yaitu “Srinivasa Ramanujan” yang merupakan matematikawan genius dari india, anak kampung yang belajar matematika secara otodidak dari pengamatan, perenungan, dan yang unik adalah berasal dari mimpi. Dikisahkan bahwa dia sering bertemu dewa yang memaparkan rumus dan angka-angka misterius yang kemudian setelah bangun, rumus itu diverifikasi.

Selain itu penyusunan makalah ini juga didasari pemberian tugas oleh dosen yang merupakan salah satu dari syarat-syarat untuk memperoleh nilai yang baik. Diantaranya pada aspek pendidikan. Saat ini dunia pendidikan proses pelaksanaannya diharapkan bahkan dituntut harus mampu mengungkap, menggali, dan mengembangkan potensi yang ada pada manusia dalam hal ini ialah mahasiswa. Dimana pelaksanaan dan tujuannya bukan  hanya sekedar pengembangan pengetahuan saja, melainkan pada penguasaan aspek kemampuan, pemahaman, dan penerapan di lingkungan masyarakat. Hal ini diterapkan agar masyarakat tidak lupa dengan sejarah tersebut.

B.     RUMUSAN MASALAH.

Siapakah Srinavasa Ramanujan itu ?

Apa saja karya-karya Srinivasa Ramanujan ?

Apa itu Partisi Ramanujan ?

Apa rumus bilangan Pi Ramanujan ?

Apa itu Fungsi Ramanujan ?

BAB II

PEMBAHASAN

Biografi Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887 – 1920).

A. Masa kecil.

Srinivasa Ramanujan lahir di Erode, sebuah kota kecil, 400 km sebelah barat laut Madras, pada hari Kamis, tanggal 22 Desember 1887, pukul 6 pm.. Erode adalah tempat tinggal neneknya sehingga saat berusia beberapa tahun, dia dibawa oleh ibunya ke kota Kumbakonam yang lebih dekat dengan Madras (160 km). Profesi ayahanda Ramanujan adalah sebagai penjaga sebuah toko pakaian. Memasuki usia 5 tahun, Ramanujan memasuki sekolah dasar di Kumbakonan dan menderita serangan cacar kecil, yang meninggalkan beberapa luka permanen di wajahnya. Terus berpindah sekolah sebelum memasuki sekolah menengah di Kumbakonam pula pada awal tahun 1898 dan Ramanujan dianggap terlalu cepat menjadi matang oleh para guru dan sekolah. Kepandaiannya cukup menonjol untuk semua pelajaran dan pada tahun 1900 memulai belajar sendiri melakukan penjumlahan deret geometrik dan deret aritmatika. Mampu menemukan cara menyelesaikan persamaan pangkat tiga (kubik) pada tahun 1902 dan metode menyelesaikan persamaan pangkat empat (quartik). Tahun berikutnya mencoba menyelesaikan  persamaan pangkat lima (quintik) namun gagal karena dia tidak pernah mengetahui bahwa quintik tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal-radikal. (baca: Abel dan Galois)

Ketika masih menuntut ilmu di sekolah menengah ini, Ramanujan membaca buku G.S. Carr yang berjudul Synopsis of elementary results in pure mathematics. Penulisan buku yang sederhana membuat dia mudah mempelajarinya. Hal ini kelak memberi dampak padanya. Cara penulisan pada buku itu memberi patron padanya bahwa penulisan buku yang benar harus mengandung misi: “Mudah dipelajari oleh para pembacanya” dan penulisan argumen-argumen matematikalnya yang jelas kelak di kemudian hari akan selalu menyertai semua makalah dan manuskrip karyanya. Buku ini berisi theorema-theorema, formula-formula dan pembuktian-pembuktian singkat. Buku kuno ini (terbit 1856), juga mempunyai indeks untuk makalah-makalah matematika murni yang pernah diterbitkan oleh European Journals of Learned Societies pada awal  abad ke-19.

B. Masa Muda

1.  Melakukan Riset Matematika Sendiri

Tahun 1904 Ramanujan mulai melakukan riset lebih dalam. Mengupas deret ∑(1/n) dan menghitung konstanta Euler sampai 15 desimal. Mulai mempelajarai bilangan-bilangan Bernoulli, meskipun semua yang disebut di atas bukan murni temuannya. Prestasi mencolok ini membuat Ramanujan memperoleh bea siswa untuk kuliah pada College negeri di Kumbakonam terhitung sejak tahun 1904. Namun pada tahun berikutnya, bea siswa tidak diperoleh lagi karena Ramanujan lebih menekuni bidang matematika dan menelantarkan pelajaran-pelajaran lainnya. Tanpa uang dan menghadapi banyak hambatan, tanpa restu orang tua, dia minggat ke kota Vizagapatnam yang terletak 650 km di sebelah utara kota Madras. Terus melakukan riset matematika, dimana pada saat ini dia mengerjakan deret-deret hipergeometrik dan membedah hubungan antara deret dengan integral, sebelum dilanjutkan dengan mempelajari fungsi-fungsi eliptik.

Tahun 1906, Ramanujan pergi ke Madras dan masuk College Pachaiyappa. Dia berharap lulus test awal untuk kemudian dapat masuk universitas Madras. Diterima masuk College, namun belum genap 3 bulan dia sakit. Setelah sembuh dan ikut test masuk. Lulus hanya untuk bidang matematika sedang subyek-subyek lain tidak lulus. Kegagalan masuk universitas membuat dia mengembangkan ide-ide matematikanya sendiri tanpa bantuan dan tanpa informasi dari orang lain kecuali memegang buku G.S. Carr. Tahun 1908, Ramanujan mulai mempelajari fraksi-fraksi dan deret divergen. Hal ini tidak berlangsung lama karena kemudian sakit dan harus dioperasi pada tahun 1909 setelah kesehatannya sudah cukup pulih. Menikah pada tahun 1909 dengan gadis berusia 9 tahun bernama janaki, namun tidak dapat tinggal bersama sampai si gadis berusia 12 tahun.

2. Terlunta-Lunta

Tahun 1911, tetap mengembangkan gagasan-gagasan matematikanya sendiri dan mulai mendalami problem-problem dan membuat penyelesaian problem yang dimuat pada Jurnal of the Indian Mathematical Society. Mengembangkan hubungan antara persamaan-persamaan modular eliptik pada tahun 1910. Makalah karyanya tentang bilangan-bilangan Bernoulli diterbitkan pada tahun 1911 pada Jurnal sehingga namanya mulai diperhitungkan dalam komunitas matematika. Meskipun tidak memperoleh pendidikan universitas, nama Ramanujan sangat terkenal di Madras sebagai jenius matematika. Pada tahun itu pula, dia memohon kepada pendiri Jurnal agar dicarikan pekerjaan tetap.

Pekerjaan akhirnya diperoleh yaitu menduduki jabatan sementara di kantor akuntan di Madras. Suatu langkah pertama, sebelum memohon kepada salah seorang anggota Masyarakat matematikal India (Indian Mathematical Society), Ramachandra Rao, yang tinggal di Nellore, untuk membangun perpusatakaan matematika. Ramachandra menyarankan agar dia kembali ke Madras dan mencoba, namun gagal, bea siswa untuk Ramanujan. Akhirnya, tahun 1912, Ramanujan menjadi karyawan di bagian akunting di sebuah perusahaan di Madras.

Tanpa pendidikan universitas, namun namanya sangat kondang dalam kalangan matematikawan  di Madras sehingga pekerjaan di atas diperoleh lewat rekomentasi E.W. Middlemast yang menjadi profesor matematika di Presidency College di Madras.  Lingkungan kerja yang sangat akrab dengan matematika karena kepala bagian akunting, S.N. Aiyar, adalah seorang matematikawan ulung sekaligus mengarang makalah On the distribution of primes pada tahun 1913 yang merupakan karya Ramanujan.

3. Kuliah di Cambridge

Seorang profesor di Madras mengenali bakat matematika Ramanujan, karena lulusan Inggris,  mengirim karya-karya Ramanujan kepada rekannya di College London. M.J.M. Hill tidak dapat memahami karya Ramanujan tentang deret-deret divergen. Begitu pula surat Ramanujan kepada E.W. Hobson dan H.F. Baker tidak pernah dibalas. Awal tahun 1913, Ramanujan mengirim surat kepada G.H. Hardy dengan melampirkan karyanya Orders of infinity, sambil memperkenalkan dirinya dan riset-riset yang sedang dilakukannya.

Hardy bersama dengan Littlewood, mempelajari daftar panjang theorema-theorema yang disertakan bersama surat itu. Kurang dari dua bulan, Hardy membalas surat Ramanujan yang intinya menyebutkan

Saya sangat tertarik dengan surat dan teorema-theorama yang anda tulis. Saya tidak mempunyai wewenang untuk menilai namun karya-karya anda dapat dipilah menjadi tiga kategori:

1. Berisikan beberapa hasil yang sudah pernah ada, atau mudah dibuktikan dari theorema-theorema yang pernah ada.
2. Terdapat beberapa hal baru dan menarik, yaitu mengusik rasa ingin tahu,  menarik, dan sulit, namun kurang terlalu penting.
3. Ada beberapa penemuan baru dan sangat penting

Surat balasan dari Hardy ini menggembirakan hati Ramanujan, sehingga dia langsung mengirimkan surat kedua. Isi surat kedua, intinya, menyebutkan bahwa dirinya sedang menderita kelaparan dan mohon bantuan Hardy agar mengupayakan untuk memperoleh bea siswa dari pemerintah India agar dapat masuk universitas. Ternyata bukan bea siswa masuk ke universitas Madras yang diperoleh Ramanujan. Pada pertengahan tahun 1913, Hardy sukses mengusahakan bea siswa untuk Ramanujan agar menuntut ilmu di Trinity College, Cambridge. Setelah melalui prosedur yang “cukup” sulit akhirnya Ramanujan berlayar dari India menuju London. Ramanujan adalah pemeluk Brahma ortodoks yang melarang para pemeluknya melakukan perjalanan jauh dan menganut vegetarian.

4. Lulus Universitas

Ramanujan mendarat di London pada pertengahan bulan April 1914. Beristirahat beberapa minggu dengan tinggal di rumah E.H. Neville, rekan kerja Hardy, sebelum diantar ke Cambridge dan tinggal di asrama Trinity College pada akhir bulan April 1914. Dampak PD I (Perang Dunia I) sangat terasa sehingga makanan sulit diperoleh dan diet vegerarian membuat kesehatan Ramanujan yang tidak prima menjadi makin parah pada tahun-tahun ini.

Sejak awal, hampir semua karya Ramanujan berkolaborasi dengan Hardy, karena tidak ada pendidikan formal yang dikecap oleh Ramanujan. Littlewood sempat membantu membimbing Ramanujan dengan mengajarkan metode-metode matematikal baku. Hal ini tidak berlangsung lama karena kemudian Littlewood pergi perang ketika ada panggilan tugas dan mulailah Ramanujan bekerja sama dengan Hardy yang tetap berada di Cambridge.

Tahun 1915, Ramanujan sakit selama lima bulan, karena tidak “cocok” dengan musim dingin. Tidak dapat berkarya dan  hanya mengeluarkan karya-karyanya selagi masih di India, namun berjanji kepada Hardy bahwa dirinya akan menerbitkan karya-karya baru setelah PD I usai. Pada tahun 1916, Ramanujan lulus dari Cambridge dengan gelar BS (Bachelor of Science) dengan melakukan riset (pada tahun 1920 gelar BS diganti dengan Ph.D.). Disertasinya membahas tentang Highly composite numbers dan dibagi ke dalam tujuh makalah dan diterbitkan di Inggris.

5. Sakit-Sakitan

Pada tahun 1917, Ramanujan sakit akut dan dikuatirkan meninggal oleh dokter di Inggris. Namun kekuatiran ini ternyata tidak terjadi bahkan pada akhir tahun 1918, kesehatannya sangat cepat membaik. Tahun 1918 adalah tahun kejayaan Ramanujan. Dipilih menjadi anggota Cambridge Philosophical Society dan selang tiga hari kemudian diangkat menjadi anggota Royal Society of London. Nama Ramanujan, akhirnya, dapat bersanding dengan matematikawan kesohor seperti: Hardy, Forsyth, Whitehead, Bromwich, MacMahon, Littlewood, Hobson. Menjelang akhir tahun yang sama, juga dipilih menjadi anggota Trinity College, Cambridge.

Dalam suatu kesempatan, ketika Hardy yang menjenguk Ramanujan  yang sedang terbaring di kasur rumah sakit Putney, dihadapkan pada pertanyaan: “Ke rumah sakit dengan mengendarai kendaraan apa?” Sempat terkejut, namun Hardy langsung menjawab: “Taksi nomor 1729”, jawab Hardy singkat. “Nomor yang menarik karena bilangan itu menggambarkan perjumlahan bilangan pangkat tiga (kubik) yang berbeda.” Anda juga Ingin tahu alasan dari jawaban pasien yang jenius ini.  Perhatikan: 1³ + 12³ = 1729 =  9³ +10³.

Meskipun dalam kondisi sakit namun bakat matematika Ramanujan tidak berkurang, dan mampu berkarya dengan kualitas yang sama. Setelah sembuh,  Ramanujan pulang ke India dengan mengemban pesan Hardy, bahwa: ”Perkembangan sains dan reputasi matematika Ramanujan adalah suatu harta karun, namun tidak mengubah pribadi Ramanujan yang tetap tampil sederhana.”

6. Riset Matematika

Dalam suratnya kepada Hardy pada tahun 1913, Ramanujan sudah menunjukkan bahat matematikanya yang luar biasa. Saat ini dia sudah mengupas deret Riemann, integral-integral elipstik, deret-deret hipergeometrik dan persamaan-persamaan fungsional dari fungsi zeta Riemann, deret tidak terbatas, penjumlahan seri, analitis teori bilangan, formula asimtotik, fungsi modular, partisi dan analisis kombinatorial.. Secara terpisah, juga mendalami karya-karya Gauss, Kummer dan matematikawan lainnya tentang deret-deret hipergeometrik. Kiprah Ramanujan dalam bidang ini adalah melakukan perjumlahan parsial dan deret-deret hipergeometrik berpangkat yang akhirnya memicu perkembangan topik ini.

Barangkali karya Ramanujan yang paling utama adalah partisi-partisi bilangan p(n) dar integer n ke dalam SUMMAND?? . MacMahon membuat tabel nilai r(n) untuk bilangan n kecil, dan Ramanujan menggunakan data numerikal untuk membuat prakiraan (conjecture) untuk hal-hal lain yang sudah digunakannya dalam membuktikan fungsi-fungsi eliptik. Beberapa lainnya baru dapat dibuktikan setelah Ramanujan meninggal. Beberapa makalahnya yang belum diterbitkan berisi theorema-theorema yang perlu dibuktikan oleh matematikawan berikutnya.

G.N. Watson, profesor matematika murni di Birmingham antara tahun 1918 sampai 1951 menerbitkan 14 makalah dengan judul Theorems stated by Ramunujan, juga menerbitkan hampir 30 makalah yang diinspirasi oleh karya-karya Ramanujan, Hardy juga menyerahkan manuskrip-manuskrip yang ditulisnya bersama Ramanujan sebelum tahun 1914 serta karya-karya akhir Ramanujan sebelum meninggal di India.

Dalam matematika, ada perbedaan antara memiliki wawasan dan memiliki bukti. Bakat Ramanujan menyarankan sejumlah besar rumus yang kemudian dapat diselidiki secara mendalam kemudian, Dikatakan bahwa penemuan Ramanujan yang sangat kaya dan yang ada sering lebih dalam daripada apa yang awalnya memenuhi mata. Sebagai produk, penelitian arah baru dibuka. Contoh yang paling menarik rumus ini menarik tak terbatas termasuk seri untuk π, salah satu yang diberikan di bawah ini

Hasil ini didasarkan pada hal yang negatif diskriminan mendasar d = -4 × 58 dengan jumlah kelas h (d) = 2 (perhatikan bahwa 5 × 7 × 13 × 58 = 26390) dan berkaitan dengan fakta bahwa

Bandingkan dengan angka Heegner, yang memiliki jumlah kelas 1 dan menghasilkan rumus serupa. Ramanujan seri untuk menyatu π sangat cepat (eksponensial) dan membentuk dasar dari beberapa algoritma yang tercepat saat ini digunakan untuk menghitung π.  jumlah istilah yang pertama juga memberikan pendekatan   untuk π, yang benar untuk enam desimal.

Salah satu kemampuan luar biasa adalah solusi cepat untuk masalah..” Ia berbagi kamar dengan PC Mahalanobis yang punya masalah, “Bayangkan bahwa Anda berada di sebuah jalan dengan rumah-rumah yang ditandai 1 sampai n. Ada sebuah rumah di antara (x) sedemikian rupa sehingga jumlah nomor rumah di kiri itu sama dengan jumlah dari nomor rumah ke kanan. Jika n adalah antara 50 dan 500, apa n dan x. Ini adalah masalah bivariat dengan beberapa solusi. . Ramanujan berpikir tentang hal itu dan memberikan jawaban dengan antihan: Dia memberikan melanjutkan fraksi.. Bagian yang tidak biasa adalah bahwa itu adalah solusi untuk seluruh kelas masalah.. Mahalanobis sangat terkejut dan bertanya bagaimana ia melakukannya. “Ini adalah sederhana. Begitu aku mendengar masalah, aku tahu bahwa jawabannya adalah sebagian kecil terus. Yang terus fraksi, saya bertanya pada diri sendiri. Lalu jawaban datang dalam pikiran saya”, jawab Ramanujan.

Intuisinya juga membawanya untuk menurunkan beberapa sebelumnya tidak dikenal identitas, seperti

untuk semua θ, dimana Γ (z) adalah fungsi gamma. Menyamakan koefisien θ ^0, θ ^4, dan θ ⁸ memberikan beberapa identitas mendalam untuk hiperbolis garis potong.

Pada tahun 1918, GH Hardy dan Ramanujan mempelajari fungsi partisi P (n) secara ekstensif dan memberikan non-konvergen asimtotik seri yang memungkinkan perhitungan tepat jumlah partisi dari sebuah integer. Hans Rademacher, pada tahun 1937, mampu mempersempit rumus untuk menemukan rangkaian yang tepat konvergen solusi untuk masalah ini  Ramanujan dan Hardy’s bekerja di bidang ini memunculkan metode baru yang kuat untuk menemukan formula asimtotik, yang disebut metode lingkaran. ^[81]

Ia menemukan mock theta fungsi dalam tahun terakhir hidupnyaSelama bertahun-tahun fungsi-fungsi ini adalah sebuah misteri, tetapi mereka kini dikenal menjadi bagian dari harmonik holomorphic lemah Maass bentuk.

C. AKHIR HIDUP RAMANUJAN

Kembali ke India

Ramanujan menderita penyakit sebelum dan setelah pernikahannya dengan Janaki (1909) dan sebelum keberangkatannya ke Inggris. Ia didiagnosis dengan tuberkulosis dan kekurangan vitamin yang parah dan terbatas pada sebuah sanatorium. Gejala-gejalanya adalah demam, keringat malam, batuk, sesak napas, penurunan berat badan dan bahkan meludahkan darah. Setelah menyelesaikan hampir lima tahun di Cambridge dan menderita berbagai penyakit selama beberapa bulan, S. Ramanujan akhirnya kembali ke India pada 27 Februari 1919. Empat minggu kemudian pada tanggal 27 Maret dia tiba di Bombay, Dia disambut oleh semua teman-teman dan simpatisan baik di Madras seperti Hero. Ketika kondisinya menunjukkan tanda-tanda kemerosotan lebih lanjut, setelah persuasi besar, Ramanujan dibawa ke Madras untuk ahli perawatan medis, pada bulan Januari 1920. Namun, sayangnya dia tidak hidup lebih lama dan meninggal pada 26 April 1920, di Chetput, Madras,pada usia hanya 32 tahun . 4 bulan dan 4 hari Namun, meskipun ia tidak tinggal lebih panjang, kontribusi S. Ramanujan tidak pernah dapat diabaikan dan dalam kenyataannya, dia telah menambahkan dimensi baru ke seluruh dunia matematika.

Peran dan sumbangsih Ramanujan diabadikan oleh pemerintah India dengan menerbitkan prangko bergambar wajahnya bersamaan dengan ulang tahun ke-75.

Karya-karya Srinivasa Ramanujan.

Publikasi pilihan karya-karya Ramanujan.

Ø  Srinivasa Ramanujan, G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, B. M. Wilson, Bruce C. Berndt (2000). Collected Papers of Srinivasa Ramanujan. AMS. ISBN 0-8218-2076-1.

This book was originally published in 1927 after Ramanujan's death. It contains the 37 papers published in professional journals by Ramanujan during his lifetime. The third re-print contains additional commentary by Bruce C. Berndt.

• S. Ramanujan (1957). Notebooks (2 Volumes). Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.

These books contain photo copies of the original notebooks as written by Ramanujan.

• S. Ramanujan (1988). The Lost Notebook and Other Unpublished Papers. New Delhi: Narosa. ISBN 354018726X.

This book contains photo copies of the pages of the "Lost Notebook".

• Problems posed by Ramanujan, Journal of the Indian Mathematical Society.

Publikasi terpilih tentang Ramanujan dan karyanya.

• Berndt, Bruce C. "An Overview of Ramanujan's Notebooks." Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe. Ed. P. L. Butzer, W. Oberschelp, and H. Th. Jongen. Turnhout, Belgium: Brepols, 1998. 119–146.
• Berndt, Bruce C., and George E. Andrews. Ramanujan's Lost Notebook, Part I. New York: Springer, 2005. ISBN 0-387-25529-X.
• Berndt, Bruce C., and George E. Andrews. Ramanujan's Lost Notebook, Part II. New York: Springer, 2008. ISBN 978-0-387-77765-8
• Berndt, Bruce C., and Robert A. Rankin. Ramanujan: Letters and Commentary. Vol. 9. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1995. ISBN 0-8218-0287-9.
• Berndt, Bruce C., and Robert A. Rankin. Ramanujan: Essays and Surveys. Vol. 22. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2001. ISBN 0-8218-2624-7.
• Berndt, Bruce C. Number Theory in the Spirit of Ramanujan. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-4178-5.
• Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks, Part I. New York: Springer, 1985. ISBN 0-387-96110-0.
• Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks, Part II. New York: Springer, 1999. ISBN 0-387-96794-X.
• Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks, Part III. New York: Springer, 2004. ISBN 0-387-97503-9.
• Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer, 1993. ISBN 0-387-94109-6.
• Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks, Part V. New York: Springer, 2005. ISBN 0-387-94941-0.
• Hardy, G. H. Ramanujan. New York, Chelsea Pub. Co., 1978. ISBN 0-8284-0136-5
• Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1999. ISBN 0-8218-2023-0.
• Henderson, Harry. Modern Mathematicians. New York: Facts on File Inc., 1995. ISBN 0-8160-3235-1.
• Kanigel, Robert. The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. New York: Charles Scribner's Sons, 1991. ISBN 0-684-19259-4.
• Kolata, Gina. "Remembering a 'Magical Genius'", Science, New Series, Vol. 236, No. 4808 (Jun. 19, 1987), pp. 1519–1521, American Association for the Advancement of Science.
• Leavitt, David. The Indian Clerk. London: Bloomsbury, 2007. ISBN 978-0-7475-9370-6 (paperback).
• Narlikar, Jayant V. Scientific Edge: the Indian Scientist From Vedic to Modern Times. New Delhi, India: Penguin Books, 2003. ISBN 0-14-303028-0.
• T.M.Sankaran. "Srinivasa Ramanujan- Ganitha lokathile Mahaprathibha", (in Malayalam), 2005, Kerala Sastra Sahithya Parishath, Kochi.

PARTISI RAMANUJAN

Setahun sebelum wafatnya di tahun 1920, Ramanujan memberi pernyataan mengenai konsep partisi. Konsep partisi sebenarnya sederhana. Partisi adalah jumlah pemotongan yang mungkin dari sebuah bilangan. Sebagai contoh, partisi dari 5 adalah 7, karena ada tujuh cara dimana lima dapat dibagi-bagi kedalam unsurnya yaitu: 

5

1 + 1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 2

1 + 1 + 3

1 + 2 + 2

1 + 4

2 + 3

Matematikawan melambangkannya sebagai p(5) = 7. Kalau 6, ia punya 11 cara, sehingga p(6) = 11. Semakin tinggi bilangan yang akan dipartisi, semakin banyak pilihan partisi yang mungkin. Sebagai contoh, 100 dapat dipartisi dengan hampir 200 juta cara, tepatnya p(100) = 190,569,292 dan partisi dari 1000 adalah sebuah bilangan dengan 32 angka, alias puluhan juta triliun triliun.

Masalahnya, matematikawan tidak tahu rumusnya. Berabad-abad mereka mencari polanya.

Diagram Partisi mulai dari satu

Pernyataan Ramanujan

Ramanujan menemukan polanya. Menurut dakuan (klaim)nya:

Jika kita memulai dengan 9 dan terus menambahnya dengan lima, maka partisinya dapat dibagi lima. Contoh :

P(9) = 30

P(9+5) = p(14) = 135

P(14 +5) = p(19) = 490

P(19+5) = p(24) = 1,575

Ia mengatakan kalau pola ini akan terus berlanjut selamanya dan pola yang sama juga terjadi jika :

5 diganti dengan 7 atau 11, atau

Dua bilangan prima seterusnya, atau

Dengan pangkat 5, 7, atau 11.

Jadi, sebagai contoh, pasti ada tak terhingga selang 5^3 sedemikian hingga semua p(n) nya dapat dibagi 125.

Selanjutnya Ramanujan juga mengatakan :

Tidak ada sifat sederhana yang melibatkan bilangan prima yang lebih besar

Dengan kata lain, tidak ada barisan p(n) yang semuanya bisa dibagi 13, 17 atau 19 dst.

Teka-teki Terpecahkan

Sekarang polanya telah ada, tapi itu belum jadi rumus. Januari 2011, Ken Ono dari Universitas Emory dan kawan-kawannya berhasil menemukan  rumusnya: mereka menemukan rumus yang menghubungkan n yang muncul pada interval pangkat dari 13 (13, 13^2, 13^3, dst) dan bilangan prima yang lebih tinggi. Rumus ini memang benar seperti kata Ramanujan, sifatnya tidak sederhana. Ia tidak mengatakan kalau p(n) bisa dibagi oleh pangkat dari 13, tapi mereka mengungkapkan hubungan pada sisa dari pembagiannya.

Untuk setiap bilangan prima, semakin tinggi pangkatnya, rumusnya berulang terus dan menunjukkan pola fraktal – struktur dimana pola dan bentuk berulang secara identik dalam skala yang berbeda-beda.

Penemuan lain yang juga diumumkan bulan Januari oleh Ono dan kawan-kawannya adalah apa yang dicari para matematikawan teori bilangan selama berabad-abad : rumus p(n) untuk semua n.

Rumus Bilangan Pi Ramanujan.

Srinivasa Ramanujan yang meneliti sendirian di India, berhasil menemukan banyak deret-deret yang inovatif untuk menghitung π.

Kalkulator π modern tidak menggunakan algoritme iteratif secara eksklusif. Deret tak terhingga baru yang ditemukan pada tahun 1980-an dan 1990-an mampu berkonvergen secepat algoritme iteratif, namun lebih sederhana dan memerlukan memori yang lebih sedikit. Penemuan algoritme iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan India Srinivasa Ramanujan mempublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk π yang berkonvergen sangat cepat. Salah satu rumusnya yang didasarkan pada persamaan modular adalah sebagai berikut:

Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin. Bill Gosper adalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitung π dan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985. Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritme-algoritme modern yang dikembangkan Borwein bersaudara dan Chudnovsky bersaudara.

Fungsi Ramanujan.

Srinivasa Ramanujan (22 Desember 1887 - 26 April 1920) adalah matematika India terkenal. Meskipun tidak memiliki pelatihan formal dalam matematika murni, Ramanujan membuat kontribusi besar di bidang analisis matematika, teori bilangan, seri terbatas dan terus pecahan. Dia mandiri disusun hampir 3500 hasil selama waktu singkat hidupnya.

            1729 kemudian dikenal sebagai nomor Ramanujan, setelah insiden menarik yang terjadi antara  Ramanujan & mentornya, GH Hardy.

            Hardy membayar kunjungan ke Ramanujan, yang sedang sakit dan menjalani perawatan di Putney (London). Hardy disebutkan kepadanya bahwa dia naik taksi, yang jumlahnya adalah 1729. "... nomor tampaknya saya agak salah membosankan", tambahnya.
Dikatakan tentang Ramanujan bahwa nomor 1-10000 adalah "teman-teman pribadi" nya. Dia mudah bisa memberitahu Anda faktor mereka, pembagi, bagaimana nomor dapat dibagi & setiap bagian dari nomor dapat squared / potong dadu, dll untuk menghasilkan angka menarik,dan banyak lagi.

            Yang cukup menarik, Ramanujan membalas komentar Hardy, mengatakan bahwa 1729 bukan nomor membosankan sama sekali. Ini adalah jumlah terkecil yang dapat ditulis sebagai jumlah dari 2 kubus, dengan 2 cara yang berbeda.

Inilah yang dimaksud Ramanujan.

Setelah Hardy terkait insiden ini kepada rekan-rekannya, angka ini menjadi terkenal dan disebut sebagai Ramanujan Nomor.

Kemudian, nomor memiliki properti yang sama semua disebut sebagai Ramanujan Bilangan & masalah menemukan nomor tersebut kemudian dikenal sebagai taksi (2) masalah. Artinya, solusi untuk taksi (2) menghasilkan angka semacam itu
a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 + d ^ 3

Berikut adalah beberapa nomor seperti ini:

Jumlah jenis a ^ 3 + b ^ 3 = m ^ 3 + n ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 yang sekarang dikenal sebagai Ramanujan Triple. Masalah yang sesuai dikenal sebagai taksi (3).
Jumlah jenis a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 + d ^ 4 = w ^ 3 + x ^ 3 = y ^ 3 + z ^ 3 yang dikenal sebagai Ramanujan empat kali lipat atau masalah terkait dikenal sebagai taksi (4) , dan sebagainya.

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN.

·         Srinivasa Ramanujan (22 Desember 1887 - 26 April 1920) adalah matematika India terkenal. Meskipun tidak memiliki pelatihan formal dalam matematika murni, Ramanujan membuat kontribusi besar di bidang analisis matematika, teori bilangan, seri terbatas dan terus pecahan.

·         1729 kemudian dikenal sebagai nomor Ramanujan, setelah insiden menarik yang terjadi antara  Ramanujan & mentornya, GH Hardy.

·         Srinivasa Ramanujan yang meneliti sendirian di India, berhasil menemukan banyak deret-deret yang inovatif untuk menghitung π. Srinivasa Ramanujan mempublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk π yang berkonvergen sangat cepat. Salah satu rumusnya yang didasarkan pada persamaan modular

·        Setahun sebelum wafatnya di tahun 1920, Ramanujan memberi pernyataan mengenai konsep partisi. Konsep partisi sebenarnya sederhana. Partisi adalah jumlah pemotongan yang mungkin dari sebuah bilangan.

·        Publikasi pilihan karya-karya Ramanujan.

Ø  Srinivasa Ramanujan, G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, B. M. Wilson, Bruce C. Berndt (2000). Collected Papers of Srinivasa Ramanujan. AMS. ISBN 0-8218-2076-1.

This book was originally published in 1927 after Ramanujan's death. It contains the 37 papers published in professional journals by Ramanujan during his lifetime. The third re-print contains additional commentary by Bruce C. Berndt.

• S. Ramanujan (1957). Notebooks (2 Volumes). Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.

These books contain photo copies of the original notebooks as written by Ramanujan.

• S. Ramanujan (1988). The Lost Notebook and Other Unpublished Papers. New Delhi: Narosa. ISBN 354018726X.

This book contains photo copies of the pages of the "Lost Notebook"